Question

4．已知，如图，BD，CD分别为∠EBC和∠FCB的平分线．
（1）若∠A=80°，且∠D的度数；
（2）试探究∠D和∠A的关系．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的定义得出∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CBE，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCF，再根据三角形外角的性质得出∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，把∠A=80°代入即可得出结论；
（2）根据（1）中的证明过程即可得出结论．

解答 解：（1）∵BD、CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CBE，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCF，
∴∠CBD+∠BCD
=$\frac{1}{2}$∠CBE+$\frac{1}{2}$∠BCF
=$\frac{1}{2}$（∠CBE+∠BCF）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A
=90°-$\frac{1}{2}$×80°
=50°．

（2）∵BD、CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CBE，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCF，
∴∠CBD+∠BCD
=$\frac{1}{2}$∠CBE+$\frac{1}{2}$∠BCF
=$\frac{1}{2}$（∠CBE+∠BCF）
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．