Question

如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)求NC、MC的长(用含t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意知，四边形ABNQ为矩形，∴BN＝AQ＝3－t 　　∴NC＝BC－BN＝4－(3－t)＝1＋t． 　　在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5 　　在Rt△MNC中，cos∠MCN＝＝＝　∴MC＝(1＋t) 　　(2)∵QD∥PC，∴当QD＝PC时，四边形PCDQ构成平行四边形 　　∴t＝4－t，∴t＝2　∴当t＝2时，四边形PCDQ构成平行四边形． 　　(3)若射线QN将△ABC的周长平分，则有MC＋NC＝AM＋BN＋AB 　　即(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5)　解得t＝．而MN＝NC＝(1＋t) 　　∴S△MNC＝NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2 　　当t＝时，S△MNC＝(1＋)2＝ 　　而S△ABC＝××4×3＝3，∴S△MNC≠S△ABC 　　∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分 　　(4)若△PMC为等腰三角形，则： 　　①当MP＝MC时(如图)，则有：NP＝NC 　　即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t)　解得t＝． 　　当CM＝CP时(如图)，则有：(1＋t)＝4－t　解得t＝． 　　③当PM＝PC时(如图)，则有： 　　在Rt△MNP中，PM2＝MN2＋PN2　又MN＝NC＝(1＋t) 　　PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3 　　∴[(1＋t)]2＋(2t－3)2＝(4－t)2解得t1＝，t2＝－1(不合题意，舍去) 　　综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△PMC为等腰三角形．