Question

如图，AB是半径为R的圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上．求证：两个正方形的面积之和为一定值．

Answer 1

分析：分别设出两个正方形的边长，连接ON，OF，在直角三角形中运用勾股定理表示CO，OE的长，把这两边的长与正方形的边长联系，得到等量关系，然后把得到的定理关系通过两边平方化简，求出两个正方形的面积的和．

解答：证明：如图，连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
则OE=

R2-b2

，OC=

R2- a2

，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：

R2-a2

-a=b-

R2-b2

得到：

R2- a2

+

R2- b2

=a+b
两边平方得：R²-a²+2

R2-a2

•

R2-b2

+R²-b²=a²+2ab+b²
整理得：

R2-a2

•

R2-b2

=a²+b²+ab-R²
两边再次平方得：R⁴-（a²+b²）R²+a²b²=（a²+b²+ab）²-2（a²+b²+ab）R²+R⁴，
整理得：a²+b²=R²．
所以两个正方形的面积之和为一定值，这个值就是R²．

点评：本题考查的是垂径定理，连接ON，OF，得到两个直角三角形，根据勾股定理用二次根式表示OE，OC的长，然后由正方形的边长找到等量关系，通过两次两边平方确定根号，得到两个正方形的面积和与半径R的关系，确定两个正方形的面积和是一定值．