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【题目】如图,在直角坐标系中,以点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于B,C两点,与y轴交于D,E两点.

(1)直接写出B,C,D点的坐标;
(2)若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上,求出这个抛物线的解析式及它的顶点坐标.
(3)若圆A的切线交x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N,切点为P,∠OMN=30°,试判断直线MN是否经过B、C、D三点所在抛物线的顶点?说明理由.

【答案】
(1)

解:如图1,连接AD,得OA=1,AD=2,

∴OD=

∴D(0,﹣ ),

∵点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆,

与x轴交于B、C两点,

∴B(﹣1,0),C(3,0)


(2)

解:∵B(﹣1,0),C(3,0),D(0,﹣ ),

∴将B,C,D三点代入抛物线y=ax2+bx+c得 ,解得

∴抛物线解析式为

∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣


(3)

解:如图2,连接AP,在Rt△APM中,∠PMA=30°,AP=2,

∴AM=4,

∴M(5,0),

∵ON=MO×tan30°=

∴N(0,﹣ ),

设直线MN的解析式为y=kx+b,

由于点M(5,0)和N(0,﹣ )在直线MN上,则 ,解得

∴直线MN的解析式为

∵当x=1时,y=﹣

∴点(1,﹣ )在直线 上,

即直线MN经过抛物线的顶点


【解析】(1)连接AD,由垂径定理可求得OD的长,可求得D点的坐标,由半径和A点坐标可求得B、C的坐标;(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点坐标;(3)连接AP,在Rt△APM中,可求得OM的长,可求得M点的坐标,从而可求得ON的长,可求得N点坐标,从而可求得直线MN的解析式,再把抛物线的顶点坐标代入进行判断即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识,掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小.

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(2)当t为何值时,∠COD=90°;

(3)试探索:在射线OCOD旋转的过程中,是否存在某个时刻,使得射线OCOBOD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线?若存在,请求出所有满足题意的t的取值,若不存在,请说明理由.

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D.3

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