Question

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点E，D是BC的中点，DE的延长线交CA的延长线于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=$\frac{1}{3}$，PC=8，求⊙O的直径；
（3）若$\frac{PE}{PD}=\frac{2}{3}$，求cos∠BAC值．

Answer 1

分析 （1）连结OE，CE，求出DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，推出∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE，求出∠ACB=∠OED=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）在RT△POE中，由sin∠P=$\frac{OE}{PO}$=$\frac{1}{3}$，得出PO=3OE，设圆的半径为R，根据PC=8，得出4R=8，从而求得R=2，即可求得⊙O的直径为4．
（3）作EF⊥AC于F，得出EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{EF}{DC}$=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2}{3}$，求得$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，根据EF∥BC，得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，从而求得AF=$\frac{2}{3}$R，OF=$\frac{1}{3}$R，然后根据勾股定理AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，根据直角三角形的余弦函数从而求得cos∠BAC=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）证明：连结OE，CE，
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∵D是BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠DCE．
∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE，
即∠ACB=∠OED，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
又∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：在RT△POE中，sin∠P=$\frac{OE}{PO}$=$\frac{1}{3}$，
∴PO=3OE，
设圆的半径为R，
∵PC=8，
∴4R=8，
∴R=2，
∴⊙O的直径为4．
（3）解：作EF⊥AC于F，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EF}{DC}$=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{2}{3}$，
∵BC=2DC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵EF∥BC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵AC=2R，
∴AF=$\frac{2}{3}$R，
∴OF=R-$\frac{2}{3}$R=$\frac{1}{3}$R，
∴EF²=OE²-OF²=R²-（$\frac{1}{3}$R）²=$\frac{8}{9}$R²
∴AE=$\sqrt{E{F}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{\frac{8}{9}R}^{2}+（\frac{2}{3}R）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，
∴cos∠BAC=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{\frac{2}{3}R}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，平行线分线段成比例定理的应用，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．