Question

10．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据总收益=每台收益×总台数计算；
（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；
（3）把y与z的表达式代入进行整理，求函数最值．

解答 解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200=160000（元）；
（2）根据题意设y=k₁x+800，Z=k₂x+200
∴400k₁+800=1200，200k₂+200=160
解得k₁=1，k₂=-$\frac{1}{5}$
∴y=x+800，Z=-$\frac{1}{5}$x+200；
（3）W=yZ=（x+800）•（-$\frac{1}{5}$x+200）=-$\frac{1}{5}$x²+40x+160000=-$\frac{1}{5}$（x-100）²+162000．
∵-$\frac{1}{5}$＜0，
∴W有最大值．
当x=100时，W最大=162000
∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的最值问题，审清题意列出代数式是解决问题的关键．