Question

4．如图．梯形ABCD中．AD∥BC，AB=CD=2，AD=4，BC=6，点E在BD上，且∠DCE=∠ADB．
（1）求证：△ABD∽△ECB；
（2）求BD、BE的长．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，得到∠ABC=∠DCB，∠ADB=∠DBC，根据已知条件和等量代换得到∠ABD=∠BCE，于是推出△ABD∽△ECB；
（2）由△ABD∽△ECB，得到BE•BD=4×6=24，由△BDC∽△CDE，得到DE•BD=CD²=4，于是得到BD²=24+4=28，即可得到结论．

解答 解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，
∴∠ABC=∠DCB，∠ADB=∠DBC，
∵∠DCE=∠ADB，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠ABD=∠BCE，
∴△ABD∽△ECB；

（2）∵△ABD∽△ECB，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{BD}{BC}$，
∴BE•BD=4×6=24，
∵∠DCE=∠DBC，∠BDC=∠CDE，
∴△BDC∽△CDE，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{DE}{CD}$，
∴DE•BD=CD²=4，
∴BD²=24+4=28，
∴BD=2$\sqrt{7}$，BE=$\frac{12\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．