Question

11．已知抛物线y=-x²-2mx+4m+6，当实数m的值为-2 时，抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积最小，其最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的顶点坐标为（-m，m²+4m+6），根据根与系数的关系得到α+β=-2m，αβ=-（4m+6），求得抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+6）•2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$=[（m+2）²+2]•$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，于是得到结论．

解答 解：y=-x²-2mx+4m+6=-（x+m）²+m²+4m+6，则抛物线的顶点坐标为（-m，m²+4m+6），
设抛物线与x轴两交点的坐标为（α，0），（β，0），则α、β为方程-x²-2mx+4m+6=0的两实数解，
所以α+β=-2m，αβ=-（4m+6），则|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=$\sqrt{4{m}^{2}+4（4m+6）}$=2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，
所以抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+6）•2$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$=[（m+2）²+2]•$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$，
因为m=-2时，（m+2）²+2有最小值2，$\sqrt{（m+2）^{2}+2}$也有最小值$\sqrt{2}$，
所以抛物线与x轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积的最小值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：-2，2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，三角形的面积的计算，求最小值问题，能确定代数式的最小值是解题的关键．