Question

1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；EG⊥CG．
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．  

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线的性质以及三角形外角定理即可证明．
（2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要证明△GNE≌△GMC即可解决问题．

解答 证明：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠ADC=45°$，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=90°，
∵GF=GD，
∴EG=DG=GF=$\frac{1}{2}$DF，GC=DG=GF=$\frac{1}{2}$DF，
∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC，
∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC，
∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°，
∴EG⊥GC．
（2）图②中，结论仍然成立．
理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°
∴GM=GN，
∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°，
∴四边形ANHD是矩形，
∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°，
∴HG=DH=AN，同理GH=CM，
∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°，
∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD，
∴AN=NE=GH=MC，
在△GNE和△GMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GN=GM}\\{∠GNE=∠GMC=90°}\\{NE=MC}\end{array}\right.$，
∴△GNE≌△GMC，
∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，
∴∠EGC=∠NGM=90°，
∴EG⊥GC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．