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【题目】如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC , 使∠BOC=135°,将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处,斜边OM与直线AB重合,另外两条直角边都在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°,如图1所示,此时∠BOM=;在图1中,OM是否平分∠CON?请说明理由
(2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示,使得ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠CON之间的数量关系,并说明理由;
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为(直接写出结果).

【答案】
(1)90°;解:OM平分∠CON,理由如下:
∵∠BOC=135°,∠BOM=90°,
∴∠COM=45°,
又∵∠NOM=45°,
∴OM平分∠CON
(2)

解:∠AOM=∠CON,理由如下:

∵∠MON=45°

∴∠AOM=45°-∠AON

∵∠AOC=180-135=45°

∴∠NOC=45°-AON

∴∠AOM=∠CON


(3)4.5秒或31.5秒
【解析】解:(3)第一种情况,如图4,当ON在∠AOC外部时:

图4
由ON平分∠AOC,可得∠BON=22.5°,
因此三角板绕点O逆时针旋转22.5°,
此时,三角板的运动时间为:t=22.5°5°=4.5(秒).
第二种情况,如图5,当ON在∠AOC内部时:

图5
由ON平分∠AOC,可得∠AON=22.5°,
因此三角板绕点O逆时针旋转157.5°,
此时,三角板的运动时间为:t=157.5°5°=31.5(秒).
所以答案是:4.5秒或31.5秒.
【考点精析】本题主要考查了角的平分线和角的运算的相关知识点,需要掌握从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线;角之间可以进行加减运算;一个角可以用其他角的和或差来表示才能正确解答此题.

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