Question

已知直线y=x和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q的图象的顶点为M．
（1）若M恰好在直线y=x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D（0，-3），求二次函数y=x²+px+q的表达式，并作出其大致图象．
（3）在（2）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在直线y=x上求异于M的点P，使点P在△CMA的外接圆上．

Answer 1

（1）证明：由有=-x+m
∴，，，
交点（，），
此时二次函数为y=（x-m）²+m=m③
由②、③联立，消去y，有

△=[-（）²]-4（）
=m²+
=1＞0
∴无论m为何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．

（2）解：∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴-3=0+m，
∴m=-3，
∴M（-2，-1），
∴二次函数为y=（x+2）²-1=x²+4x+3
=（x+3）（x+1），
图象如下图：

（3）解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=90°，
∴MC为△CMA外接圆直径．
∵P在y=x上，可设P（n，n），
由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上，
∴∠CPM=90°，
过点P分别作PN⊥y轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，
MS的延长线与PR的延长线交于点Q．
由勾股定理，有|MP|²=|MQ|²+|QP|²，
即|MP|²=（n+2）²
|CP|²=|NC|²+|NP|²=，
|CM|²=20
而|MP|²+|CP|²=|CM|²，
∴（n+2）²++n²=20，
即，
∴5n²+4n-12=0，
（5n-6）（n+2）=0，
∴n₁=，n₂=-2，
而n₂=-2即是M点的横坐标，与题意不合，故舍去，
∴n=，此时，
∴P点坐标为（，）．
分析：（1）由直线y=x和y=-x+m相交，解出交点，二次函数y=x²+px+q的图象的顶点为M，M是交点，写出二次函数带有m的函数关系式，再解出根的判别式，可证交点的个数．
（2）由直线y=-x+m过点D（0，-3），解出m，即可写出函数关系式，作出图象．
（3）由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=90°，MC为△CMA外接圆直径，设过点P（n，n），分别作PN⊥y轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的延长线交于点Q．由勾股定理|MP|²=|MQ|²+|QP|²，然后解出n．
点评：本题是二次函数的综合习题，考查求函数解析式，勾股定理等知识点，习题比较麻烦．