Question

19．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC²=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ②④⑤
• C． ①②⑤
• D． ①③④

Answer 1

分析 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．

解答 解：∵在⊙O中，点C是$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠ABC，故①正确；

∵$\widehat{AC}$≠$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴AD≠BC，故②错误；

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C为$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC²=AE•AB，故④正确；

如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，
∵$\widehat{AC}$≠$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
故答案为：D．

点评 此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，射影定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质以及三角形的外接圆与圆心的综合应用，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．解题时注意：弦切角等于弦所对的圆周角．