解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=
x+1
将点E的坐标（
，
），代入y=
x+1中，左边=
，右边=
×
+1=
．
∵左边=右边
∴点E在直线y=
x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；
（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD的内部，
∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，
∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下．
解法二：
∵抛物线y=ax
2+bx+1的顶点P的纵坐标为
，且P在矩形ABCD的内部，
∴1＜
＜3，由1＜1-
得-
＞0．
∴a＜0．
∴抛物线开口向下；
（3）连接GA、FA．
∵S
△GAO-S
△FAO=3
∴
GO•AO-
FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x
1，0），G（x
2，0），
则x
1、x
2是方程ax
2+bx+1=0的两个根，且x
1＜x
2，
又∵a＜0
∴x
1•x
2=
＜0，
∴x
1＜0＜x
2∴GO=x
2、FO=-x
1∴x
2-（-x
1）=6，即x
2+x
1=6
∵x
2+x
1=
∴
=6
∴b=-6a
∴抛物线的解析式为：y=ax
2-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-
＜a＜0①
由方程组
，
得：ax
2-（6a+
）x=0
∴x=0或x=
=6+
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，
则有：0＜6+
≤
，
解得：-
a＜-
②
综合①②，得-
＜a＜-
∵b=-6a，
∴
＜b＜
．
分析：（1）说明点A、C、E在一条直线上，只要求出过A、C的直线的解析式，然后判断E是否满足函数的解析式就可以；
（2）由于动点P在矩形ABCD的内部，因而点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，则抛物线有最高点，抛物线的开口向下；
（3）已知△GAO与△FAO的面积差为3，而这两个三角形的高相同是OA的长，等于1，因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式．抛物线y=ax
2-6ax+1的顶点可以用a表示出来，顶点P在矩形ABCD的内部，即可以求出a的取值范围．
点评：本题综合运用了抛物线的顶点坐标的求法，以及一元二次方程的求解和韦达定理．难度较大．
不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．
导学教程高中新课标系列答案
小学课时特训系列答案
如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（ ）
如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且AD：DC=3；4，设
16、如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C、下列结论错误的是（ ）
如图，已知点C为反比例函数y=-
如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=