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【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.

原题:如图1,在ABCD中,点EBC边上的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G,若=3,求的值.

1)尝试探究

在图1中,过点EEHABBG于点H,则ABEH的数量关系是 CGEH的数量关系是 的值是

2)类比延伸

如图2,在原题的条件下,若=mm≠0),则的值是 (用含m的代数式表示),试写出解答过程.

3)拓展迁移

如图3,梯形ABCD中,DCAB,点EBC延长线上一点,AEBD相交于点F,若=a=ba0b0),则的值是 (用含ab的代数式表示).

【答案】1AB=3EHCG=2EH23ab

【解析】

试题分析:1)本问体现特殊的情形,=3是一个确定的数值.如答图1,过E点作平行线,构造相似三角形,利用相似三角形和中位线的性质,分别将各相关线段均统一用EH来表示,最后求得比值;

2)本问体现一般的情形,=m不再是一个确定的数值,但(1)问中的解题方法依然适用,如答图2所示.

3)本问体现类比转化的情形,将(1)(2)问中的解题方法推广转化到梯形中,如答图3所示

解:(1)依题意,过点EEHABBG于点H,如图1所示.

则有ABF∽△EHF

==3

AB=3EH

ABCDEHAB

EHCD

EBC中点,

EHBCG的中位线,

CG=2EH

故答案为:AB=3EHCG=2EH

2)如图2所示,作EHABBG于点H,则EFH∽△AFB

AB=mEH

AB=CD

CD=mEH

EHABCD

∴△BEH∽△BCG

=2

CG=2EH

=

故答案为:

3)如图3所示,过点EEHABBD的延长线于点H,则有EHABCD

EHCD

∴△BCD∽△BEH

=b

CD=bEH

AB=aCD=abEH

EHAB

∴△ABF∽△EHF

=ab

故答案为:ab

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