Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴的负半轴上，点B在坐标原点，点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax²+b．（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF，设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3），是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=2．
∴AB的中点坐标为（-，0），CD的中点坐标为（0，3），
分别代入y=ax²+b，得
，
解得：，
∴这条抛物线的函数的解析式为y=-x²+3；
（2）存在．
如图2所示，在△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2
Sin∠C===
∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=BC=，DE=
又AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADC与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．
①若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°，在△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2．
又E（t，3），F（t，-t²+3），
∴EF=3-（-t²+3）=t²
∴t²=1∵t＞0，∴t=1，
此时，==2，==2，=
又∵∠ADF=∠DEF∴△ADC∽△DEF．
②若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则=，
设EF=m，则FB=3-m，=即m²-3m+6=0，此方程无实数根，此时t不存在；
③由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°
∴此时t不存在．
综上所述，存在t=1，使△ADC与△DEF相似．
分析：（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；
（2）①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：
（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；
（II）若∠DFA=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；
点评：本题是动线型中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质的运用、待定系数法的运用、菱形的性质的运用、相似三角形的判定与性质等重要知识，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解．