Question

【题目】如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：

当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；

当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；

当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；

当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；

（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？

Answer 1

【答案】(1)相等；(2)垂直；(3)见解析.

【解析】

（1）连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；

（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半,再根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判定即可

（3）由（2）可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．

（1）证明：连接BD．

∵E、H分别是AB、AD的中点，

∴EH是△ABD的中位线．

∴EH=BD，EH∥BD．

同理得FG=BD，FG∥BD．

∴EH=FG，EH∥FG．

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）连接AC、BD．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．

若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；

若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；

若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；

故答案为：平行四边形，菱形，矩形，正方形；

（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．