Question

如图，点E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．
（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E从点D向点B的运动过程中，四边形AFNM的面积是否会发生变化？若发生了变化，请说明理由；若没有发生变化，请求出其面积的值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，
∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，
△NEB和△MDE都是等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠ENF=90°，MN=BC=AB，EN=BN
∴MN-EM=AD-MD，
即EN=AM，
又∵∠AEM+∠FEN=90°，∠AEM+∠EAM=90°
∴∠EAM=∠FEN，
∵∠AME=∠ENF=90°，
∴△AME≌△ENF（ASA）；
∴AE=BE，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）由（1）同理可得：
∴BN=EN=AM，
∠AEM=∠EFN，
∵∠AME=∠ENF=90°
∴△AME≌△ENF（ASA）；
∴AE=BE，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；


（3）四边形AFNM的面积没有发生变化
（i）当点E运动到BD的中点时，
四边形AFNM是矩形，S_{四边形AFNM}=
（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFNM是直角梯形．
由（1）知，△AME≌△ENF，
同理，图（2），△AME≌△ENF，
∴FN=EM=DM．
∴FN+AM=DM+AM=AD=1
这时，S_{四边形AFNM}=（FN+AM）•MN=
综合（i）、（ii）可知四边形AFNM的面积没有发生改变，都是 ．
分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥BA，求证△DEM和△BNE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求证，△AME≌△ENF；
（2）利用（1）中证法求出BN=EN=AM，∠AEM=∠EFN，即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：（i）当点E运动到BD的中点时，利用四边形AFNM是矩形，可得S_{四边形AFNM}=
（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFNM是直角梯形．由（1）知，△AME≌△ENF，
同理，图（2）△AME≌△ENF，然后即可得出结论．
点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，利用图形进行分类讨论得出是解题关键，此题有一定的拔高难度，属于难题．