【题目】如图,A、P、B、C是⊙O上四点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)连接OA,OB,当点P位于什么位置时,四边形PBOA是菱形?并说明理由;
(3)已知PA=a,PB=b,求PC的长(用含a和b的式子表示).
【答案】(1)证明见解析;(2)当点P位于的中点时,四边形PBOA是菱形,理由见解析;(3)a+b.
【解析】
(1)利用圆周角定理得到∠BAC=∠CPB=60°,则∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,从而可判断△ABC为等边三角形;
(2)当点P位于的中点时,四边形PBOA是菱形,连接OP,如图1,先证明∠AOP=∠BOP=60°,再证明△OAP和△OBP都为等边三角形,从而得到四边形PBOA是菱形;
(3)如图2,在PC上截取PD=PA,证明△APB≌△ADC得到PB=DC,从而得到PC=PD+DC=PA+PB=a+b.
(1)证明:∵∠BAC=∠CPB=60°,
∠ABC=∠APC=60°,.
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)解:当点P位于的中点时,四边形PBOA是菱形.
理由如下:连接OP,
∵∠AOB=2∠ACB=120°,P是的中点,
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB,
∴△OAP和△OBP都为等边三角形,
∴OA=AP=OB=PB
∴四边形PBOA是菱形.
(3)解:如图2,在PC上截取PD=PA,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴PA=DA,∠DAP=60°,
∵∠PAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC,
∴∠PAB=∠DAC,
在△APB和△ADC中
,
∴△APB≌△ADC(ASA),
∴PB=DC,
又∵PA=PD,
∴PC=PD+DC=PA+PB=a+b.
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=17,折叠纸片使点B落在边AD上的E处,折痕为PQ.当E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随着移动.若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,则点E在边AD上移动的最大距离为( )
A.6B.7C.8D.9
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【题目】如图,在边长为2的正方形中,对角线
与
相交于点
,点
是
上的一个动点,过点
作
,分别交正方形的两条边于点
,
,连接
、
,设
,
的面积为
,则能大致反映
与
之间的函数关系的图象为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,正方形ABCD中,E、F分别是边BC,CD上一点,∠EAF=45°.将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG,连接EF,求证EF=FG.
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【题目】如图,已知AC=6,BC=8,AB=10,以点C为圆心,4为半径作圆.点D是⊙C上的一个动点,连接AD、BD,则AD+BD的最小值为__________.
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【题目】最近雾霾天气频繁,使得空气净化器得以畅销.某商场代理销售某种空气净化器,其进价是500元/台,经过市场销售后发现,当售价是1000元/台时,每月可售出50台,且售价每降低20元,每月就可多售出5台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台,代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务.
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
(2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌,小红同学在地面上选择了在条直线上的三点为楼底),
,她在
处测得广告牌顶端
的仰角为
,在
处测得商场大楼楼顶
的仰角为
米.已知广告牌的高度
米,求这座商场大楼的高度
(
,小红的身高不计,结果保留整数).
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