Question

如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB=10，AC=6，则AD=________．

Answer 1

4
分析：连接OD交BC于E点，由AD平分∠CAB得弧CD=弧BD，由垂径定理可知OD垂直平分BC，而AC⊥BC，根据中位线定理求OE，由DE=OD-OE求DE，而BE=BC，在Rt△BDE中运用勾股定理求BD，在Rt△ABD中，运用勾股定理求AD．
解答：如图，连接OD交BC于E点，
∵AB为直径，
∴AC⊥BC，
又∵AB=10，AC=6，
∴BC==8，
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴OD垂直平分BC，由此可得：OE=AC=3，DE=OD-OE=5-3=2，
又∵BE=BC=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD²=BE²+DE²=20，
在Rt△ABD中，AD===4．
故答案为：4．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的运用．关键是根据D点为的中点，由垂径定理，三角形中位线定理求相关线段的长，再用勾股定理求BD，AD．