Question

17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且CF是⊙O的切线．
（1）求证：DE=DC；
（2）若⊙O的半径为5，OE=1，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质以及直角三角形的两锐角互余，和等腰三角形的性质证得∠DEC=∠ACD，根据等角对等边即可证得；
（2）作DF⊥EC于点F，根据△AOC∽△ACB，相似三角形的对应边的比相等求得AC的长，则EF即可求得，然后根据△AOE∽△DFE，利用相似三角形的对应边的比相等求得．

解答 （1）证明：连接OC．
∵CF是切线，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵OD⊥AB于点O，
∴∠A+∠AEO=90°，
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠AEO=∠ACD，
∵∠DEC=∠AEC，
∴∠DEC=∠ACD，
∴DE=DC；
（2）作DF⊥EC于点F．
在直角△AOE中，AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$，即$\frac{\sqrt{26}}{10}$=$\frac{1}{BC}$，
∴BC=$\frac{5\sqrt{26}}{13}$．
∴在直角△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{5\sqrt{26}}{13}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{610}}{13}$．
则EC=AC-AE=$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{13}$．
∵DE=DC，DF⊥EC，
∴EF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{26}$．
∵∠AEO=∠DEF，∠AOE=∠EFD=90°，
∴△AOE∽△DFE，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{OE}{EF}$，即$\frac{\sqrt{26}}{DE}$=$\frac{26}{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}$，
∴DE=$\sqrt{26}$•$\frac{5\sqrt{610}-13\sqrt{26}}{26}$=$\frac{10\sqrt{3965}-338}{26}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质，以及等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，求得EC的长是关键．