Question

18．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象和x轴有两个交点A、B（点A在点B的右侧），B（-3，0），与y轴的交点为C（0，3）且对称轴是直线x=-1；
（1）求该二次函数的解析表达式；
（2）在给定的坐标系中画出二次函数草图；
（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先由抛物线的对称性求得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据函数的解析式画出函数的图象即可；
（3）如图2所示，过点E作ED⊥AB，垂足为点D，列出四边形的面积与点E的横坐标x之间的函数关系式，利用配方法求得最大值以及点E的横坐标，从而可求得点E的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，点B的坐标（-3，0），
∴点A的坐标为（1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入得：-3a=3，
解得；a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）二次函数的图象如图1所示：

（3）如图2所示，过点E作ED⊥AB，垂足为点D．

设点E的坐标为（x，-x²-2x+3）．
则四边形的BOCE的面积=△BED的面积+梯形EDOC的面积
=$\frac{1}{2}（x+3）（-{x}^{2}-2x+3）$+$\frac{1}{2}×（-{x}^{2}-2x+3+3）×（-x）$
=$-\frac{3}{2}（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{63}{8}$．
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，四边形的面积有最大值，最大值面积为$\frac{63}{8}$．
将x=-$\frac{3}{2}$代入y=-x²-2x+3得；y=$\frac{15}{4}$．
∴点E的坐标为（$-\frac{3}{2}，\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析，配方法求得二次函数的最值，列出四边形的面积与点E的横坐标之间的函数关系式是解题的关键．