Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AD平分∠BAC，且AD=8，则△ABC的面积等于24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，设CD=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出CD，根据勾股定理求出AC，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：作DE⊥AB于E，
设CD=x，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=x，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{64-{x}^{2}}$，
则AE=$\sqrt{64-{x}^{2}}$，
BE=$\sqrt{（12-x）^{2}-{x}^{2}}$，
∴$（\sqrt{64-{x}^{2}}+\sqrt{144-24x}）^{2}$=64-x²+144，
解得，x=4，x=4±4$\sqrt{7}$（不合题意舍去），
当CD=4时，AC=$\sqrt{64-{x}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×AC×CB=24$\sqrt{3}$，
故答案为：24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是角平分线的性质和勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．