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【题目】如图1,把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在E处,BE交AD于点F.

(1)求证:FB=FD;
(2)如图2,连接AE,求证:AE∥BD;

(3)如图3,延长BA,DE相交于点G,连接GF并延长交BD于点H,求证:GH垂直平分BD.

【答案】
(1)证明:∵△BCD≌△BED,

∴∠DBC=∠EBD,

又∵四边形ABCD是长方形,

∴AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC,

∴∠ADB=∠EBD,

∴BF=DF


(2)证明:∵四边形ABCD是长方形,

∴AD=BC=BE,

又∵FB=FD,

∴FA=FE,

∴∠FAE=∠FEA,

又∵∠AFE=∠BFD,且2∠AEF+∠AFE=2∠FBD+∠BFD=180°,

∴∠AEF=∠FBD,

∴AE∥BD


(3)证明:∵四边形ABCD是长方形,

∴AD=BC=BE,AB=CD=DE,BD=DB,

在△ABD与△EDB中,

∴△ABD≌△EDB(SSS),

∴∠ABD=∠EDB,

∴GB=GD,

又∵FB=FD,

∴GF是BD的垂直平分线,即GH垂直平分BD


【解析】(1)由折叠的性质可得到△ABD≌△EDB,那么∠ADB=∠EBD,所以BF=DF;(2)根据长方形的性质可得和三角形内角和定理可得∠AEF=∠FBD,再根据平行线的判定即可求解;(3)先SSS证明△ABD≌△EDB,再根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解.
【考点精析】本题主要考查了翻折变换(折叠问题)的相关知识点,需要掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等才能正确解答此题.

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AB2AC2=2AD2+2BD2

小明尝试对它进行证明,部分过程如下:

解:过点AAEBC于点E,如图2,在Rt△ABE中,AB2AE2BE2

同理可得:AC2AE2CE2AD2AE2DE2

为证明的方便,不妨设BDCDxDEy

AB2AC2AE2BE2AE2CE2=……

(1)请你完成小明剩余的证明过程;

理解运用:

(2) ① 在△ABC中,点DBC的中点,AB=6,AC=4,BC=8,则AD=_______;

② 如图3,⊙O的半径为6,点A在圆内,且OA=2,点B和点C在⊙O上,且∠BAC=90°,点EF分别为AOBC的中点,则EF的长为________;

拓展延伸:

(3)小明解决上述问题后,联想到《能力训练》上的题目:如图4,已知⊙O的半径为5,以A(3,4)为直角顶点的△ABC的另两个顶点BC都在⊙O上,DBC的中点,求AD长的最大值.请你利用上面的方法和结论,求出AD长的最大值.

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