如图.已知二次函数L1:y=ax2-2ax+a+3和二次函数L2:y=-a(x+1)2+1图象的顶点分别为M.N.与y轴分别交于点E.F．(1)函数y=ax2-2ax+a+3的最小值为3.当二次函数L1.L2的y值同时随着x的增大而减小时.x的取值范围是-1≤x≤1．(2)当EF=MN时.求a的值.并判断四边形ENFM的形状．(3)若二次函数L2的图象与x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

如图，已知二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3（a＞0）和二次函数L₂：y=-a（x+1）²+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是-1≤x≤1．
（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．
（3）若二次函数L₂的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程-a（x+1）²+1=0的解．

分析（1）把二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3化成顶点式，即可求得最小值，分别求得二次函数L₁，L₂的y值随着x的增大而减小的x的取值，从而求得二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围；
（2）先求得E、F点的坐标，作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，从而求得MG=NH=1，然后证得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，进而证得EM∥NF，从而得出四边形ENFM是平行四边形；
（3）作MN的垂直平分线，交MN于D，交x轴于A，先求得D的坐标，继而求得MN的解析式，进而就可求得直线AD的解析式，令y=0，求得A的坐标，根据对称轴从而求得另一个交点的坐标，就可求得方程-a（x+1）²+1=0的解．

解答解：（1）∵二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3=a（x-1）²+3，
∴顶点M坐标为（1，3），
∵a＞0，
∴函数y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，
∵二次函数L₁的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；
二次函数L₂：y=-a（x+1）²+1的对称轴为x=-1，当x＞-1时，y随x的增大而减小；
∴当二次函数L₁，L₂的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是-1≤x≤1；
故答案为：3，-1≤x≤1．
（2）由二次函数L₁：y=ax²-2ax+a+3可知E（0，a+3），
由二次函数L₂：y=-a（x+1）²+1=-a²x-2ax-a+1可知F（0，-a+1），
∵M（1，3），N（-1，1），
∴EF=MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴a+3-（-a+1）=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，
∴MG=NH=1，
∵EG=a+3-3=a，FH=1-（-a+1）=a，
∴EG=FH，
在△EMG和△FNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=FH}\\{∠EGM=∠FHN}\\{MG=NH}\end{array}\right.$，
∴△EMG≌△FNH（SAS），
∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，
∴EM∥NF，
∴四边形ENFM是平行四边形；
∵EF=MN，
∴四边形ENFM是矩形；
（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：
①如图2，当MN=NA=2$\sqrt{2}$时，过点N作ND⊥x轴，垂足为点D，则有ND=1，DA=m-（-1）=m+1，
在Rt△NDA中，NA²=DA²+ND²，即（2$\sqrt{2}$）²=（m+1）²+1²，
∴m₁=$\sqrt{7}$-1，m₂=-$\sqrt{7}$-1（不合题意，舍去），
∴A（$\sqrt{7}$-1，0）．
由抛物线y=-a（x+1）²+1（a＞0）的对称轴为x=-1，
∴它与x轴的另一个交点坐标为（-1-$\sqrt{7}$，0）．
∴方程-a（x+1）²+1=0的解为x₁=$\sqrt{7}$-1，x₂=-1-$\sqrt{7}$．
②如图3，当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m-1|，
∴在Rt△MGA中，MA²=MG²+GA²，即MA²=3²+（m-1）²，
又∵NA²=（m+1）²+1²，
∴（m+1）²+1²=3²+（m-1）²，m=2，
∴A（2，0），
则抛物线y=-a（x+1）²+1（a＞0）的左交点坐标为（-4，0），
∴方程-a（x+1）²+1=0的解为x₁=2，x₂=-4．
③当MN=MA时，3²+（m-1）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴m无实数解，舍去．
综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程-a（x+1）²=0的解为
x₁=$\sqrt{7}$-1，x₂=-1-$\sqrt{7}$或x₁=2，x₂=-4．

点评本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数的解析式等，求得A的坐标是解题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

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