如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{9}{2}$x+5与x轴交于点A.点B.与y轴交于点D.在y轴负半轴有一点E.使得∠EBO=∠DBO.第一象限抛物线上有一点C.与点D关于对称轴对称．(1)求直线BE解析式．(2)在线段BE.AB上各有一动点M.N.当AM+MN最小时.过点M作y轴平行线.与抛物线交于点P.求点P的坐标．(3)分别连接BD.OC.一动点Q从点O出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5与x轴交于点A、点B，与y轴交于点D，在y轴负半轴有一点E，使得∠EBO=∠DBO，第一象限抛物线上有一点C，与点D关于对称轴对称．
（1）求直线BE解析式．
（2）在线段BE、AB上各有一动点M、N，当AM+MN最小时，过点M作y轴平行线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．
（3）分别连接BD、OC，一动点Q从点O出发，以每秒l个单位向终点B运动，过点Q作QH⊥x轴，与直线DC交于点H，延长QH至点F，使FH=QH，以QF为斜边，在QF右侧作等腰直角三角形QFK；同时另一动点G从点B出发，以每秒2个单位向终点O运动，过点G作GI⊥x轴，与直线BD交于点I，延长GI至点J，使IJ=GI，以GI为斜边，在GJ左侧作等腰直角三角形GJR．已知一个动点停止运动，另一动点也随之停止运动，请问当点Q运动多少秒时，两个等腰直角三角形分别有一边恰好落在同一直线上？

分析（1）利用待定系数法求出A、B、D的坐标，由△BOD≌△BOE，推出OD=OE，推出E（0，-5），设直线BE的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题．
（2）如图1中，作点A关于直线BE的对称点A′，连接AA′交BE于K，作A′N⊥AB于N交BE于M，此时AM+MN的值最小，想办法切线点A的坐标即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当边FK、边RG在同一直线上时．②当边QK、边RJ在同一直线上时．③当边FQ、边JG在同一直线上时．分别列出方程即可解决问题．

解答解：（1）对于抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5，令x=0得y=5，令y=0得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+5=0解得x=-1或10，
∴D（0，5），A（-1，0），B（10，0），
在△BOD和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠EBO}\\{BO=BO}\\{∠BOD=∠BOE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△BOE，
∴OD=OE，
∴E（0，-5），
设直线BE的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-5．

（2）如图1中，作点A关于直线BE的对称点A′，连接AA′交BE于K，作A′N⊥AB于N交BE于M，此时AM+MN的值最小，

∵直线AA′的解析式为y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=\frac{1}{2}x-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=-\frac{22}{5}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{6}{5}$，-$\frac{22}{5}$），
∵AK=KA′，
∴A′（$\frac{17}{5}$，-$\frac{44}{5}$），
∴M（$\frac{17}{5}$，-$\frac{33}{10}$），
当x=$\frac{17}{5}$时，P_y=-$\frac{1}{2}$（$\frac{17}{5}$）²+$\frac{9}{2}$×$\frac{17}{5}$+5=$\frac{363}{25}$，
∴点P坐标为（$\frac{17}{5}$，$\frac{363}{25}$）．

（3）如图2中，延长FK交x轴于E，延长JR交x轴于P．

∵C（9，5），
∴直线OC的解析式为y=$\frac{5}{9}$x，
∵OQ=t，BG=2t，
∴HQ=$\frac{5}{9}$t，IG=t，
∵△FKQ，△RJG是等腰直角三角形，
∴∠F=∠FEQ=45°，
∴QE=QF=$\frac{10}{9}$t，PG=JG=2t，
①当边FK、边RG在同一直线上时，t+$\frac{10}{9}$t+2t=10，解得t=$\frac{90}{37}$，
②当边QK、边RJ在同一直线上时，t+4t=10，解得t=2，
③当边FQ、边JG在同一直线上时，t+2t=10，解得t=$\frac{10}{3}$，
综上所述，当点Q运动$\frac{90}{37}$秒或2秒或$\frac{10}{3}$秒时，两个等腰直角三角形分别有一边恰好落在同一直线上．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两条直线的交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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