【题目】操作与证明:
如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN.
(1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形;
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断线段MD与MN的关系,得出结论;
结论:DM、MN的关系是: ;
拓展与探究:
(3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)DM=MN,DM⊥MN;(3)成立,理由见解析.
【解析】
(1)先证明△ABE≌△ADF,再利用全等三角形的性质即可证明△AEF是等腰三角形;
(2)利用三角形中位线定理,直角三角形斜边中线定理可证明DM=MN,再证明∠DMN=∠DAB=90°,即可解决问题;
(3)连接AE,交DM于O,交CD于G,同(2)证明方法类似,可证明DM=MN,再证明∠DOG=∠ECG=90°,即可得出结论.
(1)证明:如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
∵△EFC是等腰直角三角形,
∴CE=CF,
∴BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形;
(2)解:结论:DM=MN,DM⊥MN,
证明:∵在Rt△ADF中, M是AF的中点,
∴DM=AF,
∵M是AF的中点,N是EF的中点,
∴MN=AE,MN∥AE,
∵AE=AF,
∴MN=DM,
∵∠ADF=90°,AM=MF,
∴MD=MA=MF,
∴∠MAD=∠ADM,
∴∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM,
∵△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM=90°,
∵MN∥AE,
∴∠NMF=∠EAF,
∴∠DMN=∠NMF+∠DMF=∠EAF+2∠DAM=∠DAB=90°,
∴DM⊥MN,
∴MN=DM,MN⊥DM,
故答案为MN=DM,MN⊥DM;
(3)解:结论仍然成立.
理由:如图,连接AE,设AE交DM于O,交CD于G,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠ADF=90°,
又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AF=AE,∠AFD=∠AEB,
∵在Rt△ADF中,M是AF的中点,
∴DM=AF,
∵M是AF的中点,N是EF的中点,
∴MN=AE,MN∥AE,
∴MN=DM,
∵∠ADF=90°,AM=MF,
∴MD=MA=MF,
∴∠MDF=∠MFD=∠AEB,
∵∠DGO=∠CGE,∠ODG=∠CEG,
∴∠DOG=∠ECG=90°,
∵NM∥AE,
∴∠DOG=∠DMN=90°,
∴MN⊥DM,MN=DM.
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【题目】在平面直角坐标系中,点是坐标原点,四边形是菱形,点的坐标为,点在轴的负半轴上,直线交轴于点,边交轴于点.
(1)如图1,求直线的解析式;
(2)如图2,连接,动点从点出发,沿线段方向以1个单位/秒的速度向终点匀速运动,设的面积为(),点的运动时间为秒,求与之间的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围.
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【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一例.如图,这个三角形的构造法则:两腰上的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着展开式中的系数等等.
(1)根据上面的规律,写出的展开式.
(2)利用上面的规律计算:
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【题目】如图,小明想测山高和索道的长度.他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B=31°,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角∠ACE=39°.
(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);
(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m).
(参考数据:tan31°≈ ,sin31°≈ ,tan39°≈ ,sin39°≈ )
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【题目】填空并在后面的括号中填理由
如图,,试问、、有什么关系.
解:.理由如下:
过点作
则_________(____________________________________)
又∵(____________________________________)
∴_________(____________________________________)
∴_________(____________________________________)
∴(____________________________________)
即.
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【题目】在综合与实践课上,老师组织同学们以“探索等腰三角形的边长与周长的关系”为主题展开数学活动.请你解决活动过程中产生的问题.
操作发现:已知是等腰三角形.如果它的两条边长分别为和求它的周长.小明的做法是分为腰长为和两种情况,进行计算.
请你帮助小明补上计算过程;
继续探索:如果它的两条边长分别为和求它的周长;
此时它的周长还是两种结果吗?请说明理由,并求出此时等腰三角形的周长;
活学活用:
如果它的周长为一条边长为则它的腰长为 .
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【题目】在平面直角坐标系中,点、的坐标分别为,,其中,满足.将点向右平移个单位长度得到点,如图所示.
(1)求点,,的坐标;
(2)动点从点出发,沿着线段、线段以个单位长度/秒的速度运动,同时点从点出发沿着线段以个单位长度秒的速度运动,设运动时间为秒.当时,求的取值范围;是否存在一段时间,使得?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点的坐标分别为
(1)请按下列要求画图:
①将先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度,得到,画出
②与关于原点成中心对称,画出
③画出绕点顺时针旋转后得到的
(2)在中所得的和关于点成中心对称,请直接写出对称中心点的坐标.
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