Question

16．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，BC=EC，连接CG、BD．探究：直线CG与BD有怎样的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△CEM≌△CAG，根据全等三角形的性质得到CM=CN，求得BM=DN，推出△BGM≌△DGN，根据全等三角形的性质得到G=DG，证得CG垂直平分BD，于是得到结论．

解答 解：CG⊥BD，
理由：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠E=∠A=45°，AC=BC，CE=CD，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECM=∠ACD，
∵BC=EC，\
∴CE=CA，
在△ECM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠A}\\{∠ECM=∠ACN}\\{CE=CA}\end{array}\right.$，
∴CM=CN，
∴BM=DN，
在△BMG与△DNG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDG=45°}\\{∠BGM=∠DGN}\\{BM=DN}\end{array}\right.$，
∴△BGM≌△DGN，
∴BG=DG，
∵BC=CD，
∴CG垂直平分BD，
∴CG⊥BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．