Question

（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=

3

，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是

6

；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是

2或5

．

Answer 1

分析：（1）过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°=

GF

3

即可求出GF的长，进而得出结论；
（2）过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于F，则BH=AD=

3

，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．

解答：解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD=

3

，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=

GF

3

，
解得GF=3，
∴DF=6；


（2）如图2所示：
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF=

3

，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM=

BH

tan60°

=

3

3

=1，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴

DF

EF

=

EF

BE

，
∴EF²=DF•BE，即（7-x）²+3=7（6-x）
解得x=2或5
故答案为：2或5．

点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．