Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=80，BC=100．线段BC所在的直线以每秒2个单位的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，交AB于点D，交AC于点E．解答下列问题：
（1）求AC的长．
（2）记x秒时，该直线在△ABC内的部分DE的长度为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）如图2，过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥BC于点F，当x为何值时，矩形DEFG的面积最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=80，BC=100
∴AC===60
即AC的长是60．

（2）根据题意，得：DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴=
∵DE=y，AD=AB-BD=80-2x
∴=
∴y=-x+100（0＜x＜40）

（3）过点A作AM⊥BC于点M，交DE于N点，如图
∵四边形DEFG是矩形
∴DE∥BC
∴△ADN∽△ABM
∴=
由（2）=，得=
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM⊥BC
∴S_Rt△ABC=•AB•AC=•BC•AM
∴AM===48
AN=AM-MN=48-DG
∴=
∴DE=-DG+100，
∴S_矩形DEFG=DE•DG
=（-DG+100）•DG
=-+100DG
=-（DG²-48DG）
=-（DG²-48DG+24²-24²）
=-（DG-24）²+1200
∴当DG=24时，矩形DEFG的面积最大，最大值是1200．
∴DE=-×12+100=75
由（2）DE=y，y=-x+100，得：-x+100=75
解得：x=10
经检验：x=10符合题意
综上所述，当x=10时，矩形DEFG的面积最大，最大值1200．
分析：（1）AC的长可由勾股定理直接求解出；
（2）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出y与x之间的函数关系式，由AD的长必大于零可确定自变量的取值范围；
（3）通过相似三角形各边的对应关系，可先把要求矩形的面积转化成其中一边的函数，对函数求最值即可．
点评：本题考查知识点多，综合性强，是近年来中学数学试题主要的出题形式，要求学生有扎实的相关知识的基本功，及分析问题解决问题的能力．