Question

【题目】如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC＋PD值最小时点P的坐标为_______

Answer 1

【答案】P（-2，0）

【解析】

先作点D关于x轴的对称点D′，过点D′作D′C⊥AB垂足为C，线段D′C交x轴于点P,此时可知P D′=PD，因此PC+PD= PC+P D′=C D′，此时利用直线外一点到已知线段垂线段最短，此时PC+PD值最小，再由函数与坐标轴的交点坐标求出角度关系即可求出答案.

解：作点D关于x轴的对称点D′，过点D′作D′C⊥AB垂足为C，线段D′C交x轴于点P，连接PD，由轴对称的基本性质，可知P D′=PD，

∴PC+PD= PC+P D′=C D′，此时直线外一点到已知线段垂线段最短，此时PC+PD值最小．
令一次函数y=x+4中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；

所以D（0,2），则D′（0，-2），OD′=2

令y=x+4中y=0，则

x+4=0，解得：x=-4，
∴点A的坐标为（-4，0）．

∴OA=OB

∴∠CBD=45°

又∵D′C⊥AB垂直为C

∴∠O D′P=45°

又∵x轴⊥y轴

∴∠OP D′=∠O D′P=45°

∴OP=OD′=2

∴P（-2，0）

故填：（-2，0）