【题目】如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
【答案】
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM
(2)能.
解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴ ,
∴CE= ,
∴BE=6﹣ = ;
∴BE=1或
(3)解:设BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴ ,
即: ,
∴CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+ ,
∴AM=5﹣CM═ (x﹣3)2+ ,
∴当x=3时,AM最短为 ,
又∵当BE=x=3= BC时,
∴点E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE= =4,
此时,EF⊥AC,
∴EM= = ,
S△AEM= .
【解析】(1)由AB=AC,根据等边对等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质,易证得∠CEM=∠BAE,则可证得:△ABE∽△ECM;(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案;(3)首先设BE=x,由△ABE∽△ECM,根据相似三角形的对应边成比例,易得CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+ ,继而求得AM的值,利用二次函数的性质,即可求得线段AM的最小值,继而求得重叠部分的面积.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和勾股定理的概念,需要了解如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.
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