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【题目】如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.

【答案】
(1)证明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵△ABC≌△DEF,

∴∠AEF=∠B,

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,

∴∠CEM=∠BAE,

∴△ABE∽△ECM


(2)能.

解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,

∴∠AME>∠AEF,

∴AE≠AM;

当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,

∴CE=AB=5,

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,

当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,

即∠CAB=∠CEA,

又∵∠C=∠C,

∴△CAE∽△CBA,

∴CE=

∴BE=6﹣ =

∴BE=1或


(3)解:设BE=x,

又∵△ABE∽△ECM,

即:

∴CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+

∴AM=5﹣CM═ (x﹣3)2+

∴当x=3时,AM最短为

又∵当BE=x=3= BC时,

∴点E为BC的中点,

∴AE⊥BC,

∴AE= =4,

此时,EF⊥AC,

∴EM= =

SAEM=


【解析】(1)由AB=AC,根据等边对等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质,易证得∠CEM=∠BAE,则可证得:△ABE∽△ECM;(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分别从AE=EM与AM=EM去分析,注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案;(3)首先设BE=x,由△ABE∽△ECM,根据相似三角形的对应边成比例,易得CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+ ,继而求得AM的值,利用二次函数的性质,即可求得线段AM的最小值,继而求得重叠部分的面积.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和勾股定理的概念,需要了解如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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