Question

【题目】在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6cm, AB= 12cm,点P 从A出发沿AC向C点以1cm/s的速度匀速移动;点Q从C出发沿CB向B点以cm/s的速度匀速移动，点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒;点0为AB的中点。

(1)当t=2时，求线段PQ的长度;

(2) 连接OC,当PQ⊥0C时，求出t的值;

(3)连结PO，PQ,是否存在t的值，使△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）存在，.

【解析】

（1）用运动时间是2秒，求出PC，CQ再用勾股定理求解即可；
（2）由直角三角形的性质，判断出∠ACO=60°，结合PQ⊥OC得出∠CPQ=30°，利用三角函数求解即可；
（3）利用直角三角形的性质和中位线，得出∠PON=∠MOQ，再用等角的正切值相等建立方程，分两种情况讨论计算即可．

解：∵点P从A出发沿AC向C点以1cm/s的速度匀速移动，
∴AP=t，
∴CP=6-t，
∵点Q从C出发沿CB向B点以cm/s的速度匀速移动，
∴ ，
（1）当t=2时，PC=4，CQ=，
∵∠ACB=90°，
根据勾股定理得， ，
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=12cm，
∴∠B=30°，∠A=60°，BC= ，
∵点O为AB中点，
∴OA=OC，
∴∠ACO=60°，
设OC和PQ的交点为D，
∴PQ⊥OC，
∴∠PDC=90°，
∴∠CPQ=30°，
在Rt△PCQ中， ，
∴，
（3）存在，如图

过点O作ON⊥AC，OM⊥BC，
∵点O是AB中点，
∴，，，
∵△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形，
∴∠PON=∠MOQ，
∴，
∵，，

∴

① 当时，，，

∴
∴，

② 当时，

，，
∴ ，
∴（舍），此种情况不存在；
即：存在，时，△OPQ成为以PQ为斜边的直角三角形．