Question

【题目】如图，在ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.

(1)求证：△ABF∽△BEC；

(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出BE，由AE∶AD＝4∶5，求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.

∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，

∴∠C＝∠AFB，

∴△ABF∽△BEC.

(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED＝∠BAE＝90°.

∵AD＝5， AE∶AD＝4∶5，

∴AE＝AD×＝5×＝4，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，得

BE＝＝＝4.

在ABCD中，BC＝AD＝5.

由(1)得△ABF∽△BEC，

∴＝，即＝，

∴AF＝2.