Question

14．设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知抛物线上有一点D的坐标为（1，-3），连接BD，抛物线上是否存在一点E，使过点A的直线AE∥BD，如果存在请求出E点坐标，如不存在说明理由．
（3）若P为抛物线上BC两点间的一个动点，过P做y轴的平行线，交BC于H，当P运动到什么位置时，线段PH的值最大？求出此时点P坐标．
（4）点M是线段AB上一动点，过点M作MQ∥BC，交AC于Q点，连接MC，当△MCQ面积最大时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式可求得C点坐标，再利用△AOC∽△ACB，可求得OB，则可求得B点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由待定系数法可先求得直线BD解析式，由AE∥BD，结合A点坐标可求得直线AE解析式，联立直线AE和抛物线解析式可求得E点坐标；
（3）可设出P点坐标，则可表示出H点坐标，从而可表示出PH的长，再利用二次函数的性质可求得其取得最大值时P点的坐标；
（4）设M点坐标为（t，0），则可表示出AM，由MQ∥BC可得对应线段成比例，可用t分别表示出AQ和MQ，则可表示出△ACM和△AMQ的面积，利用三角形的面积的和差可表示出△MCQ的面积，再利用二次函数可求得其最大值时的t的值，可求得点M的坐标．

解答 解：
（1）在y=ax²+bx-2中，令x=0可得y=-2，
∵C（0，-2），且A（-1，0），
∴OA=1，OC=2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∵∠ACB=90°=∠AOC，且∠A为公共角，
∴△AOC∽△ACB，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{AB}$，
∴AB=5，
∴OB=4，
∴B（4，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）设直线BD解析式为y=kx+m，
把B、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{k+m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BD为y=x-4，
∵AE∥BD，如图1，

∴可设直线AE解析式为y=x+n，
把A点坐标代入可得0=-1+n，解得n=1，
∴直线AE解析式为y=x+1，
联立直线AE和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（6，7）；
（3）设直线BC解析式为y=k′x+m′，
把B、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k′+m′=0}\\{m′=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=\frac{1}{2}}\\{m′=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵P为抛物线上BC两点间的一个动点，如图1，

∴可设点P为（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），
∵PH∥y轴，
∴点H坐标为（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∵点P在直线BC下方，
∴PH=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∴当x=2时，PH有最大值，
∴P点坐标为（2，-3）；
（4）设M点坐标为（t，0），如图3，

则AM=t-（-1）=t+1，
在Rt△OBC中，可求得BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵MQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{MQ}{BC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{AQ}{\sqrt{5}}$=$\frac{MQ}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1+t}{5}$，
∴AQ=$\frac{1+t}{\sqrt{5}}$，MQ=$\frac{2（1+t）}{\sqrt{5}}$，
∴CQ=AC-AQ=$\sqrt{5}$-$\frac{1+t}{\sqrt{5}}$=$\frac{4-t}{\sqrt{5}}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠CQM=90°，
∴S_△MCQ=$\frac{1}{2}$MQ•CQ=$\frac{1}{2}$（$\frac{2（1+t）}{\sqrt{5}}$）（$\frac{4-t}{\sqrt{5}}$）=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{3}{5}$t+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S_△MCQ有最大值，此时M点坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
即当S_△MCQ有最大值时，M点坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、待定系数法、平行线的性质、平行线分线段成比例、二次函数的性质及方程思想等知识点．在（1）中求得OB的长是解题的关键，在（2）中求得直线AE的解析式是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PH的长是解题的关键，在（4）中用M点的坐标分别表示出MQ和QC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度很大．