Question

20．如图，在?ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2$\sqrt{5}$，AB=3，求AF的长．

Answer 1

分析 连接AC、EC，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，证明四边形AFCE是平行四边形，得出AF=CE，由平行线得出$\frac{AQ}{CQ}=\frac{EQ}{BQ}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a²=$\frac{11}{3}$，得出BQ²=4b²=$\frac{16}{3}$，b²=$\frac{4}{3}$，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的长．

解答 解：连接AC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是AD，BC，CD的中点，
∴AE=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AQ}{CQ}=\frac{EQ}{BQ}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB²-AQ²=BQ²-CQ²，
即9-a²=（2$\sqrt{5}$）²-4a²，
∴3a²=11，
∴a²=$\frac{11}{3}$，
∴BQ²=4b²=（2$\sqrt{\sqrt{5}}$）²-4×$\frac{11}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴b²=$\frac{16}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{3}$，
在Rt△EQC中，CE²=EQ²+CQ²=b²+4a²=16，
∴CE=4，
∴AF=4．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，本题综合性强，有一定难度．