Question

11．如图，在△ABC中，AB=6，BC=4，AC=3，点P在边BC上运动（不含点B），过点P作∠DPB=∠A，PD交AB于点D吗，设PB=x，AD=y
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围
（2）当x取何值时，y最小？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由∠DPB=∠A，∠B=∠B，得到△ABC∽△PBD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{PB}=\frac{BC}{BD}$，代入数据即可得到结论；
（2）根据一次函数的性质得到y随x的增大而减小，由于0＜x≤4，于是得到当x=4时，y最小，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠DPB=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△PBD，
∴$\frac{AB}{PB}=\frac{BC}{BD}$，
∵AB=6，BC=4，AC=3，PB=x，AD=y，
∴BD=6-y，
∴$\frac{6}{x}=\frac{4}{6-y}$，
∴y=-$\frac{2}{3}$x+6；

（2）∵y=-$\frac{2}{3}$x+6，
∵k=-$\frac{2}{3}$＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵0＜x≤4，
∴当x=4时，y最小，
∴y_最小=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．