Question

3．如图，在菱形ABCD中，延长BD到E使得BD=DE，连接AE，延长CD交AE于点F．
（1）求证：AD=2DF；
（2）如果FD=2，∠C=60°，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用菱形的性质结合三角形中位线定理得出AB=2DF，进而分析得出答案；
（2）首先得出，△DAB为等边三角形，进而利用已知得出DM的长，即可得出菱形ABCD的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，CD∥AB，
∵BD=DE，
∴EF=FA，
∴FD是△EAB的中位线，
∴AB=2FD，
∴AD=2FD；              
             
（2）解：过点D作DM⊥AB，
∵FD=2，
∴AB=4，
∵∠C=60°，
∴∠ADB=∠60°，△DAB为等边三角形，
∴∠ADM=30°，AM=2，
∴DM=$\frac{AM}{tan60°}$，可得DM=2$\sqrt{3}$，
∴S_菱形ABCD=AB•DM=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，正确得出△DAB为等边三角形是解题关键．