Question

8．如图，点E在菱形ABCD边上，AE=1，过E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F，DF=2，∠B=60°，点P是AC上的动点，则PM+PF的最小值3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是菱形，得到AB=BCAD=CD，推出△ACB是等边三角形，得到∠DAC=∠BAC=60°，推出M于E关于直线AC对称，于是得到AC与EF的交点即为P点，得到EF=PM+PF的最小值，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BCAD=CD，
∵∠B=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵EF⊥AC，
∴M于E关于直线AC对称，
∴AC与EF的交点即为P点，
∴EF=PM+PF的最小值，
∵∠APE=90°，∠PAE=60°，
∴∠AEP=30°，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EM=$\sqrt{3}$，
∵AE∥DF，
∴△AME∽△DMF，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{EM}{MF}$，
∴MF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=3$\sqrt{3}$，
∴PM+PF的最小值=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的判断出点P的位置是解题的关键．