Question

5．如图，⊙M的圆心M在x轴上，且与x轴分别交于A、B两点与y轴的正半轴交于点D，点A、B的横坐标分别是方程x²=3x+4的两根，一条抛物线经过A、B、D三点，点C为第一象限抛物线上一动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）A（-1，0），B（4，0），可以假设抛物线为y=a（x+1）（x-4），连接BD，由△AOD∽△DOB，得OD²=AO•BO，推出OD=2，推出D（0，2），把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，求出a即可．
（2）设四边形ABCD面积为S，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

解答 解：（1）∵点A、B的横坐标分别是方程x²=3x+4的两根，
∴A（-1，0），B（4，0），
可以假设抛物线为y=a（x+1）（x-4），连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠AOD=∠DOB=90°，
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠DAO=∠BDO，
∴△AOD∽△DOB，
∴OD²=AO•BO，
∴OD=2，
∴D（0，2），
把D（0，2）代入y=a（x+1）（x-4）中，得到a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）连接OC．设C（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2），
S=S_△ADO+S_△DCO+S_△BCO=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）=-（m-2）²+9，
∵-1＜0，
∴m=2时，S有最大值，最大值为9．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的最值问题、待定系数法等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．