Question

【题目】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

(1)如图1，若，点在、内部， ， ,求的度数.

(2)如图2，在AB∥CD的前提下，将点移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论.

(3)如图3，写出、、、之间的数量关系？(不需证明)

(4)如图4，求出的度数.

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）∠B=∠D+∠BPD，证明见解析；（3）∠BPD=∠B+∠D+BQD；；（4）360°．

【解析】

（1）过P作平行于AB的直线，根据内错角相等可得出三个角的关系，然后将∠B=50°，∠D=30°代入，即可求∠BPD的度数；

（2）先由平行线的性质得到∠B=∠BOD，然后根据∠BOD是三角形OPD的一个外角，由此可得出三个角的关系；

（3）延长BP交QD于M，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；

（4）根据三角形外角性质得出∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM=360°即可求出答案．

（1）如图1，过P点作PO∥AB，

∵AB∥CD，∴CD∥PO∥AB，

∴∠BPO=∠B，∠OPD=∠D，

∵∠BPD=∠BPO+∠OPD，

∴∠BPD=∠B+∠D．

∵∠B=50°，∠D=30°，

∴∠BPD=∠B+∠D=50°+30°=80°；

（2）∠B=∠D+∠BPD，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BOD，

∵∠BOD=∠D+∠BPD，

∴∠B=∠D+∠BPD；

（3）如图：延长BP交QD于M

在△QBM中：∠BMD=∠BQD+∠QBM

在△PMD中：∠BPD=∠BMD+∠D=∠BQD+∠QBM+∠D

故答案为：∠BPD=∠B+∠D+BQD

∴、、、之间的数量关系为：∠BPD=∠B+∠D+BQD

（4）如图

∵∠CMN=∠A+∠E，∠DNB=∠B+∠F，

又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．