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    如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
    （1）实验与操作：
    如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
    （2）猜想与探究：
    如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
    我们来证明线段CD与线段CN相等．
    ∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
    ∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
    又∵DA=NB，BC=AC，
    ∴△CAD≌△CBN．
    ∴CD=CN．

    请你继续解答：
    ①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
    ②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
    （3）拓广与运用：
    如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．

    解：（1）如图所示：以AM为边的正方形的面积加上以BN为边的正方形的面积等于移NM为边的正方形的面积． ．

    （2）①线段MD与线段MN相等．
    理由是：在△CDM和△CNM中
    ，
    ∴△CDM≌△CNM，
    ∴MD=MN．

    ②AM2+NB2=MN2，
    理由是：∵在Rt△DAM中，AM2+DA2=DM2，
    又∵DA=NB，MD=MN，
    ∴AM2+NB2=MN2．

    （3）能在线段MB上找到点N，作法如下：

    作AC=BC，且∠ACB=90°，连接CM，作∠MCN=45°，交AB于点N．
    分析：（1）根据题意画出图形即可；
    （2）①根据SAS证△CDM≌△CNM即可；②根据勾股定理推出AM2+DA2=DM2，把DA=NB，MD=MN代入求出即可；
    （3）根据③图形，作等腰直角三角形ACB，∠ACB=90°，在∠ACB内部作∠MCN=45°即可．
    点评：本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是考查学生能根据题意得出规律，题型较好，有一定的难度．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•沙坪坝区模拟）如图1，在同一平面内，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC与DF重合，△ABC始终保持不动．
    （1）将△DEF沿CB（EB）方向平移，直到点E与点B重合为止，设平移的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
    （3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说：如图1，在以红星镇为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的平面直角坐标系（1单位长度表示的实际距离为1km）中，王家庄的坐标为（5，5）；也可以说，王家庄在红星镇东北方向
    		50
    km的地方．

    还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如图2：在红星镇所建的雷达站O的雷达显示屏上，把周角每15°分成一份，正东方向为0°，相邻两圆之间的距离为1个单位长度（1单位长度表示的实际距离为1km），现发现2个目标，我们约定用（10，15°）表示点M在雷达显示器上的坐标，则：
    （1）点N可表示为
    （8，135°）
    （8，135°）
    ；王家庄位置可表示为
    （
    		50
    ，45°）
    （
    		50
    ，45°）
    ；点N关于雷达站点0成中心对称的点P的坐标为
    （8，315°）
    （8，315°）
    ；
    （2）S△OMP=
    20
    		2
    20
    		2
    ；
    （3）若有一家大型超市A在图中（4，30°）的地方，请直接标出点A，并将超市A与雷达站O连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店B，使得△ABO为底角30°的等腰三角形，请直接写出B点在雷达显示屏上的坐标．
    （4，270°）或（4，150°）或（4
    		3
    ，0°）或（4
    		3
    ，60°）．
    （4，270°）或（4，150°）或（4
    		3
    ，0°）或（4
    		3
    ，60°）．
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点．
    （1）填空：GF的长度为
    2
    		2
    2
    		2
    ，等腰梯形DEFG的面积为
    6
    6
    ．
    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF’G’（如图2）
    探究：在运动过程中，四边形BDG’G能否为菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2011年重庆市沙坪坝区中考适应性考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

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    （2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
    （3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：2012年重庆市沙坪坝区中考数学模拟试卷（一）（解析版） 题型：解答题

    如图1，在同一平面内，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC与DF重合，△ABC始终保持不动．
    （1）将△DEF沿CB（EB）方向平移，直到点E与点B重合为止，设平移的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
    （3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．

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