Question

15．定义一种运算：${a_k}={a_{k-1}}+1-5（{[{\frac{k-1}{5}}]-[{\frac{k-2}{5}}]}）$，其中k是正整数，且k≥2，[x]表示非负实数x的整数部分，例如[2.6]=2，[0.8]=0．若a₁=1，则a₂₀₁₄的值为4．

Answer 1

分析 首先定义的新运算方法，可得a₂=a₁+1-5（$[\frac{2-1}{5}]-[\frac{2-2}{5}]$）=1+1=2，a₃=a₂+1-5（$[\frac{3-1}{5}]-[\frac{3-2}{5}]$）=2+1=3，同理，可得a₄=4，a₅=5，a₆=1，a₇=2，…，所以这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；然后用2014除以4，根据余数的情况判断出a₂₀₁₄的值为多少即可．

解答 解：因为a₁=1，
所以a₂=a₁+1-5（$[\frac{2-1}{5}]-[\frac{2-2}{5}]$）=1+1=2，
a₃=a₂+1-5（$[\frac{3-1}{5}]-[\frac{3-2}{5}]$）=2+1=3，
同理，可得a₄=4，a₅=5，a₆=1，a₇=2，…，
所以这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环；
因为2014÷5=402…4，
所以a₂₀₁₄=4．
故答案为：4．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数是1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、…，每5个数是一个循环．