Question

【题目】如图，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第﹣象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）如果在第二象限内有﹣点P（a，），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值；

（3）请直接写出点Q的坐标，使得以Q、A、C为顶点的三角形和△ABC全等．

Answer 1

【答案】（1）A（，0），B（0，1），C（+1，）；（2）a=；（3）点Q的坐标为：（1， +1 ）；（ 2，﹣1 ）；（ 2+1，﹣1）．

【解析】

（1）由直线解析式可求得A、B的坐标，过C作CD⊥x轴于点D，则可证得△AOB≌△CDA，则可求得CD和AD的长，可求得C点坐标；

（2）过作 PE⊥x 轴于点 E，依据△ABP的面积与△ABC的面积相等，即可得到S△AOB+S梯形BOEP﹣S△AEP=2，得到关于a的方程，从而求得a的值；

（3）依据以Q、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，A（，0），B（0，1），C（+1，），即可得到点Q的坐标．

（1）根据题意，直线y=﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B，

令x=0，则y=1；令y=0，则x=，

即A（，0），B（0，1），

即OA=，OB=1，则AB=2；

如图，过C作CD⊥AO于D，则∠ADC=∠BOA=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=2，∠BAC=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

∴△ABO≌△CAD，

∴AD=BO=1，CD=AO=，

∴C（+1，）；

（2）由题可得，S△ABC=×2×2=2，

如图，作 PE⊥x 轴于点 E，则EO=﹣a，PE=，AE=﹣a，

∵S△ABC=S△ABP=2，

∴S△AOB+S梯形BOEP﹣S△AEP=2，

即××1+×（+1）×（﹣a）﹣×（﹣a）×=2，

解得a=-4；

（3）以Q、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，A（，0），B（0，1），C（+1，），

分三种情况：如图，当点Q在AC左上方时，过Q1作Q1F⊥y轴于F，连接BQ1，

依据△ABO与△BFQ1全等，可得Q1F=BO=1，BF=AO=，

∴Q1（1， +1 ）；

如图，当点Q在AC的右下方时，过Q2作Q2G⊥x轴于G，

依据△AOB与△AGQ2全等，可得Q2G=BO=1，AG=AO=，

∴Q2（ 2，﹣1 ）；

如图，当点Q在AC的右上方时，过C作CH∥y轴，过Q3作Q3H∥x轴，

依据△AOB与△CHQ3全等，可得Q3H=AO=，CH=BO=1，而C（+1，），

∴Q3（ 2+1，﹣1）．

综上所述，点Q的坐标为：（1， +1 ）；（ 2，﹣1 ）；（ 2+1，﹣1）．