Question

1．如图，点M为双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，已知A（0，-1），B（5，0），若MA=MB，且MA⊥MB，求k的值．

Answer 1

分析 先过M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，构造全等三角形：△ADM≌△BCM，设正方形CODM的边长为a，根据全等三角形的对应边相等，即可得到关于a的方程，进而得到M的坐标，进而得出k的值．

解答 解：如图所示，过M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，则∠DMC=90°=∠ADM=∠BCM，
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD=∠BMC，
在△ADM和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠BCM}\\{∠AMD=∠BMC}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM=CM，BC=AD，
∴四边形CODM是正方形，
设正方形CODM的边长为a，
∵A（0，-1），B（5，0），
∴BC=5-a，AD=a+1，
∴5-a=a+1，
解得a=2，
∴M（2，2），
∵点M为双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，
∴k=2×2=4，
故k的值为4．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据等边三角形的对应边相等进行求解．