Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；
（3）若tan∠DAC=

2

3

，求

BE

BD

的值．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD，根据AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，由OA=OD，得∠BAD=∠ODA，可证明AC∥OD，则∠ODC=90°，即BC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，得AD的长，作OF⊥AD于F，根据垂径定理得AF，可证△AOF∽△ADC，则

OF

DC

=

AF

AC

，从而得出OF的长；
（3）连接ED，由AD平分，得∠BAD=∠DAC，在Rt△AED中，由tan∠EAD=

ED

AD

=tan∠DAC=

2

3

，证明△BED∽△BDA，得

BE

BD

=

DE

AD

=

2

3

．

解答：解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，
得：AD=

AC2+DC2

=

62+42

=2

13

，
作OF⊥AD于F，根据垂径定理得AF=

1

2

AD=

13

可证△AOF∽△ADC
∴

OF

DC

=

AF

AC

∴

OF

4

=

13

6

∴OF=

2

3

13

；
（3）连接ED，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△AED中，tan∠EAD=

ED

AD

=tan∠DAC=

2

3

，
∵∠AED=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°，
∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠EDB=∠DAC=∠EAD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴

BE

BD

=

DE

AD

=

2

3

．

点评：本题考查了切线的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，是中考常见题型，要熟练掌握．