Question

8．函数y=2x+1上有两点A（a，a+3），B（-$\frac{a+5}{2}$，-3a）．若在直线y=3x+3上存在一点C，使得ABC的面积为8，求C点坐标．

Answer 1

分析 首先根据直线上的点的坐标与直线解析式的关系求出A、B两点的坐标，可设点C的坐标为（x，3x+3），由点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，然后根据三角形的面积为8列方程求解即可．

解答 解：∵点A（a，a+3）在直线函数y=2x+1上，
∴2a+1=a+3，
∴a=2，
∴A、B两点的坐标分别为：A（2，5），B（-$\frac{7}{2}$，-6）．
∵在直线y=3x+3上存在一点C，使得ABC的面积为8，设点C的坐标为（x，3x+3），
∴点C到直线AB的距离为：$\frac{|2x-（3x+3）+1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|-x-2|}{\sqrt{5}}$
又∵ABC的面积为8，且AB=$\sqrt{（2+\frac{7}{2}）^{2}+（5+6）^{2}}$=$\frac{11}{2}\sqrt{5}$
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{2}\sqrt{5}$×$\frac{|-x-2|}{\sqrt{5}}$=8，
解之得：x₁=$\frac{10}{11}$，x₂=-$\frac{54}{11}$
所以符合要求的点C的坐标为：（$\frac{10}{11}$，$\frac{63}{11}$）或（-$\frac{54}{11}$，-$\frac{119}{11}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征问题，解题的关键是求点到直线的距离．