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【题目】如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.

(1)求证:APB=BPH;

(2)当点P在边AD上移动时,PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】1)证明见解析(2不变为定值8,证明见解析(3当x=2时,S有最小值6

【解析】解:(1)如图1,

PE=BE,∴∠EBP=EPB.

∵∠EPH=EBC=90°,

∴∠EPH﹣EPB=EBC﹣EBP,即PBC=BPH。

ADBC,∴∠APB=PBC。∴∠APB=BPH。

(2)PHD的周长不变为定值8。证明如下:

如图2,过B作BQPH,垂足为Q。

由(1)知APB=BPH,

∵∠A=BQP=90°,BP=BP,

∴△ABP≌△QBP(AAS)。AP=QP,AB=BQ。

AB=BC,BC=BQ。

∵∠C=BQH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。CH=QH。

∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

(3)如图3,过F作FMAB,垂足为M,则FM=BC=AB。

EF为折痕,EFBP。

∴∠EFM+MEF=ABP+BEF=90°。∴∠EFM=ABP。

∵∠A=EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。

EM=AP=x.

在RtAPE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即

四边形PEFG与四边形BEFC全等

当x=2时,S有最小值6

(1)根据翻折变换的性质得出PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案

(2)先由AAS证明ABP≌△QBP,由HL得出BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。

(3)利用已知得出EFM≌△BPA,而利用在RtAPE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可

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