【题目】如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)不变为定值8,证明见解析(3)当x=2时,S有最小值6
【解析】解:(1)如图1,
∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.
又∵∠EPH=∠EBC=90°,
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。
(2)△PHD的周长不变为定值8。证明如下:
如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q。
由(1)知∠APB=∠BPH,
又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP(AAS)。∴AP=QP,AB=BQ。
又∵AB=BC,∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
(3)如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕,∴EF⊥BP。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。
又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。
∴EM=AP=x.
∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即。
∴。
又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等,
∴。
∵,∴当x=2时,S有最小值6。
(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。
(2)先由AAS证明△ABP≌△QBP,从而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,从而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可。
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【题目】已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的交点为C,OC=3OA
(1)请直接写出该抛物线解析式;
(2)如图,D为抛物线的顶点,连接BD、BC,P为对称轴右侧抛物线上一点.若∠ABD=∠BCP,求点P的坐标
(3)在(2)的条件下,M、N是抛物线上的动点.若∠MPN=90°,直线MN必过一定点,请求出该定点的坐标.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.
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【题目】某校在苏州园林研学时,校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上点处测得树顶端的仰角为,朝着这棵树的方向走到台阶下的点处,测得树顶端的仰角为.已知点的高度为米,台阶的坡度为 (即),且三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树的高度(侧倾器的高度忽略不计).
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【题目】某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A:篮球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
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【题目】如图,在等腰三角形ACB中,AC=BC=10,AB=16,D为底边AB上一动点(不与点A,B重合),DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,则DE+DF等于_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)若点E在x轴上,点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙两名同学从《中国好声音》、《歌手》、《蒙面唱将猜猜猜》三个综艺节目中都随机选择一个节目观看.
(1)甲同学观看《蒙面唱将猜猜猜》的概率是 ;
(2)求甲、乙两名同学观看同一节目的概率.
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【题目】某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?
(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.
①求y关于n的函数关系式;
②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.
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