Question

12．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：
（1）△ABF∽△BED；
（2）$\frac{AC}{BE}$=$\frac{BD}{DE}$．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；
（2）由平行线得出$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BF}$，由相似三角形的性质得出$\frac{BD}{DE}=\frac{AF}{BF}$，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∵BE⊥DC，
∴∠FEC=∠BED，
由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，
∴△BED∽△CEF，
∴△ABF∽△BED；
（2）∵AB∥CD，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{BF}{BE}$，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AF}{BF}$，
∵△ABF∽△BED，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{AF}{BF}$，
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{BD}{DE}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．