Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且sin∠DAC=

1

3

，AB=3

2

，则⊙O的直径等于

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：延长AO交⊙O于点E，连接BE，先根据AD⊥BC于D点，且sin∠DAC=

1

3

求出∠DAC的度数，进而可得出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AEB及∠ABE的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答：解：延长AO交⊙O于点E，连接BE，
∵AD⊥BC于D点，且sin∠DAC=

1

3

，
∴∠DAC=30°，
∴∠ACD=60°．
∵∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠AEB=60°．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°．
∵AB=3

2

，
∴AE=

AB

sin60°

=

3 2

3 2

=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．