Question

14．阅读材料：
材料  已知实数m、n满足m²-m-1=0、n²-n-1=0．且m≠n，求$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$的值．
 解：由题知m、n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根．根据材料1得m+n=1，mn=-1
∴$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn}{mn}$=$\frac{1+2}{-1}$=-3
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足3m²-3m-1=0、3n²-3n-1=0，且m≠n，求m²n+mn²的值．
（2）已知实数p、q满足p²=7p-2、2q²=7q-1，且p≠2q，求p²+4q²的值．

Answer 1

分析 （1）由实数m、n满足3m²-3m-1=0、3n²-3n-1=0，且m≠n，即可得出m、n是方程3x²-3x-1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出m+n=1、mn=-$\frac{1}{3}$，将代数式m²n+mn²提取公因式mn即可变形为mn（m+n），再代入m+n=1、mn=-$\frac{1}{3}$即可求出结论；
（2）由实数p、q满足p²=7p-2、2q²=7q-1，且p≠2q，即可得出p、2q是方程x²-7x+2=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可得出p+2q=7、p•2q=2pq=2，利用配方法可将代数式p²+4q²变形为（p+2q）²-2×2pq，再代入p+2q=7、p•2q=2pq=2即可求出结论．

解答 解：（1）由题意知：m、n是方程3x²-3x-1=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=1，mn=-$\frac{1}{3}$，
∴m²n+mn²=mn（m+n）=-$\frac{1}{3}$×1=-$\frac{1}{3}$．

（2）∵2q²=7q-1，
∴4q²-14q+2=0，即（2q）²-7×2q+2=0．
又∵p²=7p-2，即p²-7p+2=0，
∴p、2q是方程x²-7x+2=0的两个不相等的实数根，
∴p+2q=7，p•2q=2pq=2，
∴p²+4q²=（p+2q）²-2×2pq=7²-2×2=45．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据根与系数的关系找出m+n=1、mn=-$\frac{1}{3}$；（2）根据根与系数的关系找出p+2q=7、p•2q=2pq=2．